モンテカルロ法で将来リターンを確率的に考える

「年利7%で20年運用すれば資産は約4倍になる」——記事#03で複利計算を実装しました。しかし現実の市場は毎年きっちり7%で成長するわけではありません。ある年は+30%、別の年は-20%。このばらつきを考慮すると、20年後の資産は「いくらになるか」ではなく「どの範囲に収まる確率が高いか」で考える必要があります。

筆者は製造業の開発現場で、DX推進やデータ分析に携わるエンジニアです。製造業の品質管理では「工程能力指数（Cpk）」を使って「規格内に収まる確率」を管理しますが、投資の将来予測にも同じ確率的アプローチが使えます。それがモンテカルロ・シミュレーションです。

この記事では、Pythonで1万回のランダムシミュレーションを実行し、将来の資産額を確率分布として可視化します。「20年後に元本割れする確率は？」「資産が2倍になる確率は？」——読み終わる頃には、投資のリスクを「確率」で語れるようになります。（記事#01から読み始めるのがおすすめです。前回の記事#05では、ドルコスト平均法 vs 一括投資をシミュレーションしました。）

結論：モンテカルロ・シミュレーションを使えば、投資の将来像を「点」ではなく「分布」で把握できる。最悪の5%シナリオを知ることで、自分のリスク許容度に合った投資判断ができる。

モンテカルロ法とは何か：乱数で未来を「たくさん」試す

モンテカルロ法（Monte Carlo Simulation）は、乱数を使って大量のシナリオを生成し、結果の分布を統計的に分析する手法です。名前の由来はカジノで有名なモナコのモンテカルロ地区。「サイコロを何万回も振って、結果の傾向を調べる」イメージです。

投資に応用する場合の基本的な考え方はこうです。

1. 過去の市場データから「年間リターンの平均」と「標準偏差（ばらつき）」を計算する
2. その平均と標準偏差に従う正規分布から、ランダムにリターンを生成する
3. 生成したリターンを使って、1年目、2年目…と資産の推移をシミュレーションする
4. これを1万回繰り返して、最終的な資産額の分布を得る

S&P500の過去データからパラメータを推定する

モンテカルロ法に必要なのは「年間リターンの平均」と「標準偏差」です。記事#04と同様に、S&P500の実データから推定します。

import yfinance as yf
import pandas as pd
import numpy as np

# --- S&P500の年次リターンを計算 ---
START: str = "2000-01-01"
END: str = "2025-01-01"

raw_data = yf.download("^GSPC", start=START, end=END, progress=False)

# MultiIndex対応
if isinstance(raw_data.columns, pd.MultiIndex):
    close_prices = raw_data[("Close", "^GSPC")]
else:
    close_prices = raw_data["Close"]

# 年末の終値を取得して年次リターンを計算
annual_prices: pd.Series = close_prices.resample("YE").last().dropna()
annual_returns: pd.Series = annual_prices.pct_change().dropna()

# パラメータの推定
mean_return: float = annual_returns.mean()
std_return: float = annual_returns.std()

print(f"データ期間: {annual_returns.index[0].year}年 〜 {annual_returns.index[-1].year}年")
print(f"年数: {len(annual_returns)}年")
print(f"年間リターンの平均: {mean_return:.4f} ({mean_return*100:.1f}%)")
print(f"年間リターンの標準偏差: {std_return:.4f} ({std_return*100:.1f}%)")
print(f"最大リターン: {annual_returns.max()*100:+.1f}%")
print(f"最小リターン: {annual_returns.min()*100:+.1f}%")

出力例（2000年〜2024年のデータ）：

パラメータ	値	意味
年間リターンの平均	約7〜9%	長期的に年平均これだけ成長する傾向
年間リターンの標準偏差	約17〜19%	年によるばらつきの大きさ
最大リターン	約+30%	最も好調だった年
最小リターン	約-38%	最も不調だった年（2008年）

※ 上記はyfinanceのデータに基づく概算値です。データ期間やソースにより数値は変動します。

重要なポイントは、標準偏差（約18%）が平均リターン（約8%）の2倍以上あることです。つまり「平均で+8%だが、±18%のばらつきがある」——1年間で-10%になることも+26%になることも、十分にあり得るということです。

実装①：1万回のモンテカルロ・シミュレーション

推定したパラメータを使って、1万回のシミュレーションを実行します。初期投資100万円、追加投資なし、20年間の運用を想定します。

from typing import TypedDict

class MonteCarloResult(TypedDict):
    """モンテカルロ・シミュレーションの結果"""
    paths: np.ndarray          # 全シミュレーションの資産推移 (n_sims × years+1)
    final_values: np.ndarray   # 最終資産額の配列
    initial_investment: float  # 初期投資額
    years: int                 # 運用期間
    n_simulations: int         # シミュレーション回数

def run_monte_carlo(
    initial_investment: float = 1_000_000,
    years: int = 20,
    mean_return: float = 0.08,
    std_return: float = 0.18,
    n_simulations: int = 10_000,
    seed: int = 42,
) -> MonteCarloResult:
    """モンテカルロ・シミュレーションを実行

    Args:
        initial_investment: 初期投資額（円）
        years: 運用期間（年）
        mean_return: 年間リターンの平均
        std_return: 年間リターンの標準偏差
        n_simulations: シミュレーション回数
        seed: 乱数シード（再現性のため）

    Returns:
        MonteCarloResult: シミュレーション結果
    """
    rng = np.random.default_rng(seed)

    # 各年のリターンを正規分布からランダム生成
    # shape: (n_simulations, years)
    random_returns: np.ndarray = rng.normal(mean_return, std_return, (n_simulations, years))

    # 資産推移を計算（初期値を含むので years+1 列）
    paths: np.ndarray = np.zeros((n_simulations, years + 1))
    paths[:, 0] = initial_investment

    for year in range(years):
        paths[:, year + 1] = paths[:, year] * (1 + random_returns[:, year])

    return MonteCarloResult(
        paths=paths,
        final_values=paths[:, -1],
        initial_investment=initial_investment,
        years=years,
        n_simulations=n_simulations,
    )

# --- 実行 ---
mc_result: MonteCarloResult = run_monte_carlo(
    initial_investment=1_000_000,
    years=20,
    mean_return=mean_return,
    std_return=std_return,
)

print(f"シミュレーション回数: {mc_result['n_simulations']:,}")
print(f"初期投資額: ¥{mc_result['initial_investment']:,.0f}")
print(f"運用期間: {mc_result['years']}年")
print(f"---")
print(f"最終資産額の中央値: ¥{np.median(mc_result['final_values']):,.0f}")
print(f"最終資産額の平均値: ¥{np.mean(mc_result['final_values']):,.0f}")
print(f"最良ケース（上位5%）: ¥{np.percentile(mc_result['final_values'], 95):,.0f}")
print(f"最悪ケース（下位5%）: ¥{np.percentile(mc_result['final_values'], 5):,.0f}")

注目すべきは中央値と平均値の乖離です。平均値は一部の極端に成功したシナリオに引っ張られるため、中央値より大きくなります。「平均で4倍」と聞くと全員が4倍になるように感じますが、実際には半数以上のシナリオが平均以下になります。これが「平均リターン」の罠です。

実装②：1万本の資産パスを可視化する

1万回のシミュレーションすべてをグラフに重ねて描画します。個々のパスは薄く、全体の傾向が浮かび上がるようにします。

import matplotlib.pyplot as plt

def plot_monte_carlo_paths(result: MonteCarloResult, n_display: int = 500) -> None:
    """モンテカルロ・シミュレーションの資産パスを可視化

    Args:
        result: run_monte_carlo()の結果
        n_display: 表示するパス数（多すぎると描画が重い）
    """
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 7))
    years_range = range(result["years"] + 1)

    # ランダムに選んだパスを薄く描画
    for i in range(min(n_display, result["n_simulations"])):
        ax.plot(
            years_range,
            result["paths"][i] / 10_000,
            color="#3182ce",
            alpha=0.03,
            linewidth=0.5,
        )

    # パーセンタイルを重ねて描画
    percentiles = {
        "95th percentile": (95, "#38a169", "--"),
        "Median (50th)": (50, "#e53e3e", "-"),
        "5th percentile": (5, "#805ad5", "--"),
    }
    for label, (pct, color, ls) in percentiles.items():
        values = np.percentile(result["paths"], pct, axis=0)
        ax.plot(years_range, values / 10_000, label=label, color=color, linewidth=2.5, linestyle=ls)

    # 元本ライン
    ax.axhline(
        y=result["initial_investment"] / 10_000,
        color="#718096",
        linewidth=1.5,
        linestyle=":",
        label="Initial Investment",
    )

    ax.set_xlabel("Year", fontsize=12)
    ax.set_ylabel("Portfolio Value (万円)", fontsize=12)
    ax.set_title(
        f"Monte Carlo Simulation: {result['n_simulations']:,} Scenarios / {result['years']} Years",
        fontsize=14,
    )
    ax.legend(fontsize=11, loc="upper left")
    ax.grid(True, alpha=0.3)

    plt.tight_layout()
    plt.savefig("monte_carlo_paths.png", dpi=150)
    plt.show()

plot_monte_carlo_paths(mc_result)

このグラフから見えてくるのは、以下のポイントです。

• パスの広がりが年数とともに拡大する——ばらつきは時間とともに増大する。5年後より20年後の方が、最良ケースと最悪ケースの差が圧倒的に大きい
• 中央値（赤線）は右肩上がり——半数のシナリオでは元本の数倍に成長している
• 下位5%（紫の破線）でも、20年なら元本割れしない場合が多い——ただしこれは「平均リターン7-8%」の前提が成り立つ場合

実装③：「○倍になる確率」を計算する

投資家が最も知りたいのは「自分の資産がどうなるか」の確率です。モンテカルロ法の結果から、具体的な確率を計算します。

def calc_probability_table(result: MonteCarloResult) -> pd.DataFrame:
    """目標倍率ごとの達成確率を計算

    Args:
        result: run_monte_carlo()の結果

    Returns:
        目標倍率と達成確率のDataFrame
    """
    final = result["final_values"]
    initial = result["initial_investment"]
    n = result["n_simulations"]

    targets: list[dict[str, object]] = [
        {"目標": "元本割れしない（1倍以上）", "倍率": 1.0},
        {"目標": "1.5倍以上", "倍率": 1.5},
        {"目標": "2倍以上", "倍率": 2.0},
        {"目標": "3倍以上", "倍率": 3.0},
        {"目標": "5倍以上", "倍率": 5.0},
        {"目標": "10倍以上", "倍率": 10.0},
    ]

    for t in targets:
        count = np.sum(final >= initial * t["倍率"])
        t["達成確率"] = f"{count / n * 100:.1f}%"
        t["達成シナリオ数"] = f"{count:,} / {n:,}"

    return pd.DataFrame(targets)

prob_table: pd.DataFrame = calc_probability_table(mc_result)
print(prob_table.to_string(index=False))

出力例（初期投資100万円、年間リターン平均約8%・標準偏差約18%、20年間）：

目標	達成確率	意味
元本割れしない（1倍以上）	約85〜90%	10人に1〜2人は20年後も元本割れ
2倍以上	約65〜75%	約3分の2が資産を2倍にできる
3倍以上	約45〜55%	約半数が3倍を達成
5倍以上	約20〜30%	5人に1人が5倍以上
10倍以上	約5〜10%	テンバガーは約10人に1人

※ 上記は正規分布の仮定に基づく概算値です。パラメータや乱数シードにより結果は変動します。

この確率テーブルの読み方で重要なのは、「元本割れしない確率」が100%ではないという事実です。20年間という長期投資でも、10〜15%のシナリオでは元本を下回る。「長期投資すれば必ず増える」は、正確ではありません。

実装④：最終資産額の分布をヒストグラムで可視化

1万回のシミュレーション結果をヒストグラムにして、最終資産額がどのように分布するかを確認します。

def plot_final_distribution(result: MonteCarloResult) -> None:
    """最終資産額のヒストグラムを描画

    Args:
        result: run_monte_carlo()の結果
    """
    final = result["final_values"] / 10_000  # 万円に変換
    initial = result["initial_investment"] / 10_000

    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 7))

    ax.hist(final, bins=100, color="#3182ce", alpha=0.7, edgecolor="white", linewidth=0.5)

    # 統計量を縦線で表示
    median_val = np.median(final)
    p5_val = np.percentile(final, 5)
    p95_val = np.percentile(final, 95)

    ax.axvline(median_val, color="#e53e3e", linewidth=2.5, label=f"Median: ¥{median_val:.0f}万")
    ax.axvline(p5_val, color="#805ad5", linewidth=2, linestyle="--", label=f"5th pct: ¥{p5_val:.0f}万")
    ax.axvline(p95_val, color="#38a169", linewidth=2, linestyle="--", label=f"95th pct: ¥{p95_val:.0f}万")
    ax.axvline(initial, color="#718096", linewidth=1.5, linestyle=":", label=f"Initial: ¥{initial:.0f}万")

    ax.set_xlabel("Final Portfolio Value (万円)", fontsize=12)
    ax.set_ylabel("Frequency", fontsize=12)
    ax.set_title(
        f"Distribution of Final Values after {result['years']} Years ({result['n_simulations']:,} simulations)",
        fontsize=14,
    )
    ax.legend(fontsize=11)
    ax.grid(True, alpha=0.3)

    plt.tight_layout()
    plt.savefig("monte_carlo_distribution.png", dpi=150)
    plt.show()

plot_final_distribution(mc_result)

ヒストグラムの形状に注目してください。

• 右に長い裾を持つ（右裾の重い分布）——一部のシナリオでは資産が大きく成長するが、それは少数派
• 中央値は平均値より左にある——「平均で4倍」でも、半数以上のシナリオは4倍未満
• 元本（100万円）より左にも分布がある——元本割れシナリオが視覚的に確認できる

実装⑤：毎月積立のモンテカルロ・シミュレーション

ここまでは「初期投資100万円、追加投資なし」のケースでした。より現実的な「毎月3万円の積立投資」でもモンテカルロ法を実行してみましょう。

class MonteCarloTsumitateResult(TypedDict):
    """積立投資モンテカルロの結果"""
    paths: np.ndarray
    final_values: np.ndarray
    total_invested: float
    years: int
    n_simulations: int

def run_monte_carlo_tsumitate(
    monthly_amount: float = 30_000,
    years: int = 20,
    mean_return: float = 0.08,
    std_return: float = 0.18,
    n_simulations: int = 10_000,
    seed: int = 42,
) -> MonteCarloTsumitateResult:
    """毎月積立のモンテカルロ・シミュレーション

    Args:
        monthly_amount: 毎月の積立額
        years: 運用期間（年）
        mean_return: 年間リターンの平均
        std_return: 年間リターンの標準偏差
        n_simulations: シミュレーション回数
        seed: 乱数シード

    Returns:
        MonteCarloTsumitateResult: シミュレーション結果
    """
    rng = np.random.default_rng(seed)
    n_months: int = years * 12
    monthly_return: float = mean_return / 12
    monthly_std: float = std_return / np.sqrt(12)

    # 月次リターンを生成
    random_returns: np.ndarray = rng.normal(monthly_return, monthly_std, (n_simulations, n_months))

    # 資産推移を計算
    paths: np.ndarray = np.zeros((n_simulations, n_months + 1))

    for month in range(n_months):
        paths[:, month + 1] = (paths[:, month] + monthly_amount) * (1 + random_returns[:, month])

    total_invested: float = monthly_amount * n_months

    return MonteCarloTsumitateResult(
        paths=paths,
        final_values=paths[:, -1],
        total_invested=total_invested,
        years=years,
        n_simulations=n_simulations,
    )

# --- 実行 ---
mc_tsumitate: MonteCarloTsumitateResult = run_monte_carlo_tsumitate(
    monthly_amount=30_000,
    years=20,
    mean_return=mean_return,
    std_return=std_return,
)

total_inv = mc_tsumitate["total_invested"]
final = mc_tsumitate["final_values"]

print(f"毎月の積立額: ¥{30_000:,.0f}")
print(f"投資総額（20年間）: ¥{total_inv:,.0f}")
print(f"---")
print(f"最終資産の中央値: ¥{np.median(final):,.0f}")
print(f"最終資産の平均値: ¥{np.mean(final):,.0f}")
print(f"上位5%: ¥{np.percentile(final, 95):,.0f}")
print(f"下位5%: ¥{np.percentile(final, 5):,.0f}")
print(f"---")
print(f"元本割れ確率: {np.sum(final < total_inv) / len(final) * 100:.1f}%")
print(f"2倍以上になる確率: {np.sum(final >= total_inv * 2) / len(final) * 100:.1f}%")

積立投資の場合、初期一括投資と比べて以下の特徴があります。

• 元本割れ確率が低い——投資タイミングが分散されるため、記事#05で確認したDCAの効果がここでも表れる
• 上振れも抑えられる——一括投資ほどの「大当たり」シナリオは少ない
• 分布の広がりが小さい——最良ケースと最悪ケースの差が、一括投資より小さくなる

実装⑥：投資期間で元本割れ確率はどう変わるか

最後に、投資期間（5年・10年・20年・30年）で元本割れ確率がどう変化するかを検証します。「長期投資するほど安全」という通説は、どの程度正しいのでしょうか。

def analyze_by_period(
    mean_return: float,
    std_return: float,
    periods: list[int] = [5, 10, 20, 30],
    n_simulations: int = 10_000,
) -> pd.DataFrame:
    """投資期間別の統計量を計算

    Args:
        mean_return: 年間リターンの平均
        std_return: 年間リターンの標準偏差
        periods: 検証する投資期間のリスト（年）
        n_simulations: シミュレーション回数

    Returns:
        期間別統計量のDataFrame
    """
    rows: list[dict[str, object]] = []

    for years in periods:
        result = run_monte_carlo(
            initial_investment=1_000_000,
            years=years,
            mean_return=mean_return,
            std_return=std_return,
            n_simulations=n_simulations,
        )
        final = result["final_values"]
        initial = result["initial_investment"]

        rows.append({
            "投資期間": f"{years}年",
            "中央値": f"¥{np.median(final):,.0f}",
            "元本割れ確率": f"{np.sum(final < initial) / n_simulations * 100:.1f}%",
            "2倍以上の確率": f"{np.sum(final >= initial * 2) / n_simulations * 100:.1f}%",
            "下位5%": f"¥{np.percentile(final, 5):,.0f}",
        })

    return pd.DataFrame(rows)

period_df: pd.DataFrame = analyze_by_period(mean_return, std_return)
print(period_df.to_string(index=False))

出力例（初期投資100万円、パラメータはS&P500の実績ベース）：

投資期間	中央値	元本割れ確率	2倍以上の確率	最悪5%シナリオ
5年	約140万円	約25〜30%	約25〜30%	約55〜65万円
10年	約200万円	約18〜22%	約45〜55%	約50〜70万円
20年	約380万円	約10〜15%	約65〜75%	約55〜80万円
30年	約750万円	約5〜10%	約80〜85%	約80〜120万円

※ 上記は正規分布の仮定に基づく概算値です。パラメータや乱数シードにより結果は変動します。

データが示しているのは、「長期投資するほど元本割れ確率は下がるが、ゼロにはならない」ということです。30年投資しても5〜10%のシナリオでは元本割れします。一方で、30年の中央値は約7.5倍と、記事#03の複利計算（年利8%で30年 → 約10倍）に近い値になっています。

本業で学んだ「工程能力指数（Cpk）」の考え方

筆者が本業で日常的に使う品質管理の指標に「工程能力指数（Cpk）」があります。これは、製造工程が規格の範囲内にどれだけ安定して収まっているかを数値化したものです。

あるモーター部品の寸法精度を管理するプロジェクトで、Cpkの重要性を痛感した経験があります。工程の平均値は規格の中央にあり、一見問題なさそうに見えました。しかしばらつき（標準偏差）が大きく、Cpkを計算すると規格外の製品が出る確率が約3%あることがわかりました。

「平均値が規格内だから大丈夫」と思い込んでいたのが間違いでした。重要なのは平均値ではなく、ばらつきを考慮した「規格外に出る確率」だったのです。

まとめ：確率で考える3つのポイント

モンテカルロ・シミュレーションで投資の将来像を確率分布として可視化した結果、以下のことがわかりました。

• 「年利○%で○年 = ○倍」は最も楽観的なシナリオに近い。現実にはばらつきがあり、中央値は複利計算の理論値を下回る。「平均リターン」の罠に注意
• 長期投資で元本割れ確率は下がるが、ゼロにはならない。20年でも約10〜15%のシナリオで元本割れ。「長期投資すれば必ず増える」は正確ではない
• 「最悪の5%シナリオ」を確認することが重要。平均や中央値ではなく、下位5%の結果を見て「これに耐えられるか」を考える。これがリスク管理の出発点

今日からできる3つのアクション

アクション1：自分の投資条件でシミュレーションを回す

この記事のコードをコピーして、initial_investmentやmonthly_amountを自分の数字に変更してみてください。「月5万円を30年積み立てると？」——自分ごとになった瞬間、数字の重みが変わります。

アクション2：「最悪の5%」を金額で確認する

np.percentile(final_values, 5)の結果を、自分の投資額に置き換えてみてください。下位5%の金額が「自分が許容できる最大損失」を超えているなら、投資額やリスクの取り方を見直す必要があります。

アクション3：記事#03の複利計算と比較する

記事#03の「年利7%で20年 → 約4倍」と、今回のモンテカルロ法の中央値を比較してみてください。両者のギャップが「ばらつきの影響」です。この差を理解することが、現実的な投資計画の第一歩です。

次回予告：リスク許容度を定量化するフレームワーク

次回（記事#07）では、ここまでのシミュレーション結果を踏まえて、「あなたのリスク許容度をどう定量化するか」をフレームワークとして整理します。

• 「最大ドローダウン○%まで耐えられる」をどう決めるか
• 年齢・収入・資産額から、リスク許容度を関数として定義する
• リスク許容度に基づいた資産配分（株式:債券の比率）の設計

記事#03〜#06で「複利」「インデックスvs個別株」「DCAvs一括」「確率分布」と、投資の数値的な側面を掘り下げてきました。次回は、それらの知見を「自分の状況に合わせてどう設計するか」という思想の話に展開します。