目次
ノルムとは？
ノルム（norm）とは、ベクトルの「大きさ」を測る方法のことです。
最も身近なのは「ユークリッド距離（直線距離）」ですが、他にもいくつか種類があります。
数学的には、ベクトル
x = (x1, x2, …, xn)
に対して次のように定義されます。
代表的なノルム
1. L1 ノルム（マンハッタン距離）
定義：||x||1 = |x1| + |x2| + … + |xn|
- 成分の絶対値をすべて足したもの
- 碁盤目の街（マンハッタン）の道路を移動する距離に対応
- 別名：「マンハッタン距離」
2. L2 ノルム（ユークリッド距離）
定義：||x||2 = √(x1² + x2² + … + xn²)
- 成分を二乗して足し、その平方根をとったもの
- 普通の直線距離（ピタゴラスの定理）
- 別名：「ユークリッド距離」
3. L∞ ノルム（チェビシェフ距離）
定義：||x||∞ = max(|x1|, |x2|, …, |xn|)
- 成分の中で最大の値を取る
- チェスのキングが動く手数に例えられる
- 別名：「チェビシェフ距離」
応用例
- 機械学習：損失関数や誤差の尺度に利用
- クラスタリング：データ間の距離を計算する際に選択
- 株式分析：企業データの「指標の違い」を測る方法として使える
- L1：各指標のズレを合計して評価
- L2：全体的なバランスを直線距離で評価
- L∞：一番悪い指標（最大リスク）を強調
覚え方まとめ
| ノルム | 定義 | 形（2次元） | イメージ | 別名 |
|---|---|---|---|---|
| L1 | x1 | + | x2 | |
| L2 | √(x1²+x2²+…+xn²) | 円 | ドローン直線 | ユークリッド距離 |
| L∞ | max( | x1 | ,…, | xn |
まとめ
ノルムとは「ベクトルの大きさ（距離）」を測る基準のことです。
- L1：マンハッタンの道路を歩いた距離
- L2：直線距離
- L∞：最大成分
使う場面によってどのノルムを選ぶかが変わり、機械学習・データ分析・株式分析などさまざまな分野で活用されています。
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