固有値分解とは？
行列 A を
A = P D P^T
という3つの部品に分ける分解のことです。
イメージでいうと：
- P … 座標軸を「固有ベクトルの向き」に並べ替える回転（直交行列）
- D … その方向にどれくらい「伸ばす／縮める」かを表す倍率（固有値）
- P^T … 並べ替えた座標軸を元の座標系に戻す回転
各記号の役割
(1) D（ディー）
固有値が並んだ対角行列。
それぞれの固有値は「固有ベクトル方向に対しての伸び縮みの倍率」を意味します。
例：
D = [[ 3, 0 ], [ 0, -1 ]]
→ ある方向には3倍に伸ばす
→ 別の方向には反転して1倍に縮める
(2) P（ピー）
固有ベクトルを並べた行列。
行列 A が「どの方向に影響を与えるか」を示します。
直交行列なので、列ベクトルはお互いに直角で、長さ1に正規化されています。
イメージ：A の「自然な軸（主軸）」を並べた地図。
(3) P^T（ピー・トランスポーズ）
P の転置行列。
固有ベクトル方向に変換した座標系を「元の座標」に戻す役割があります。
イメージ：
「固有ベクトル座標で見る → 固有値で伸び縮み → 元の座標に戻す」
という一連の流れの最後の仕上げ。
2×2行列の固有値分解
行列
$$
A =
\begin{pmatrix}
5 & 2 \\
2 & 8
\end{pmatrix}
$$
対象行列を固有値分解して、(A = P D P^{T}) の形にせよ。
① 固有値
固有方程式は
$$
\det(A – \lambda I) = 0
$$
$$
\begin{vmatrix}
5 – \lambda & 2 \\
2 & 8 – \lambda
\end{vmatrix}
= (5 – \lambda)(8 – \lambda) – 4 = 0
$$
これを解くと、
$$
\lambda_1 = 4, \quad \lambda_2 = 9
$$
② 固有ベクトル（整数比）
λ = 4 のとき
$$
(A – 4I)v = 0 \quad \Rightarrow \quad v_1 =
\begin{pmatrix}
-2 \\
1
\end{pmatrix}
$$
λ = 9 のとき
$$
(A – 9I)v = 0 \quad \Rightarrow \quad v_2 =
\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}
$$
③ 直交性と正規化
2つのベクトルの内積は
$$
v_1 \cdot v_2 = (-2)(1) + (1)(2) = -2 + 2 = 0
$$
よって直交しています。
さらに正規化すると：
$$
u_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}
\begin{pmatrix}
-2 \\
1
\end{pmatrix},
\quad
u_2 = \frac{1}{\sqrt{5}}
\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}
$$
④ 正規直交行列 P
正規直交化した固有ベクトルを並べて
$$
P =
\begin{pmatrix}
-2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\
1/\sqrt{5} & 2/\sqrt{5}
\end{pmatrix}
$$
⑤ 対角化
固有値を並べた対角行列は
$$
D =
\begin{pmatrix}
4 & 0 \\
0 & 9
\end{pmatrix}
$$
正規直交行列なので
$$
P^{-1} = P^T
$$
しかも P は対称なので
$$
P^T = P
$$
⑥ 最終式
したがって、
$$
A = P D P^T = P D P
$$
コメント