確率・統計の基礎まとめ

E資格試験や機械学習の基礎に必須となる、代表的な分布とベイズの定理を整理しました。
直感的なイメージ＋数式で理解を深めましょう。

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■ ベルヌーイ分布（Bernoulli distribution）

• 概要: 「成功」か「失敗」かの 2値だけ をとる確率分布。
• 例: コイン投げ（表=1, 裏=0）

確率質量関数:
$$
P(X=x) = p^x (1-p)^{1-x}, \quad x \in {0,1}
$$

• (p): 成功（1）の確率
• (1-p): 失敗（0）の確率

平均・分散:
$$
E[X] = p, \quad Var[X] = p(1-p)
$$

語呂合わせ: 「ベルは2音（におん）＝0か1か」
図解イメージ: 🎲 コイン（表=1, 裏=0）

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■ マルチヌーイ分布（Multinoulli distribution / Categorical distribution）

• 概要: ベルヌーイ分布を 多クラスに拡張 したもの。
• 例: サイコロ（1〜6の目のどれか1つが出る）

確率質量関数:
$$
P(X=i) = p_i, \quad i \in {1,2,\dots,K}, \quad \sum_{i=1}^K p_i = 1
$$

• ベルヌーイとの関係: K=2の場合はベルヌーイ分布と同じ。

語呂合わせ: 「マルチでサイコロ」
図解イメージ: 🎲 サイコロ（6つの面のどれか1つ）

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■ 正規分布（Normal distribution / Gaussian distribution）

• 概要: 自然界や人間の測定データでよく現れる「釣鐘型」の分布。

確率密度関数:
$$
f(x|\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
$$

• (\mu): 平均（分布の中心）
• (\sigma^2): 分散（広がり）

特徴:

• 中心極限定理により、多くの独立確率変数の和が正規分布に近づく
• 統計学・機械学習で最重要の分布

語呂合わせ: 「正しい釣鐘（正規分布）」
図解イメージ: ⛰️ 山型グラフ（平均を中心に左右対称）

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■ ベイズの定理（Bayes’ theorem）

• 概要: 条件付き確率を逆に計算できる公式。

式:
$$
P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{P(B)}
$$

• (P(A)): 事前確率（仮説Aが起きる確率）
• (P(B|A)): 尤度（Aが起きたときBが観測される確率）
• (P(A|B)): 事後確率（Bを観測した後にAが起きている確率）
• (P(B)): 周辺確率（Bが起きる全体の確率）

直感例:
病気の検査 → 「検査が陽性だったときに、実際に病気である確率」を計算できる。

語呂合わせ: 「ベイ検査で確率更新」
図解イメージ: 🧪 検査結果 → 事前 → 観測 → 事後の更新

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■ まとめ（暗記カード風）

• ベルヌーイ＝コイン → 2値
• マルチヌーイ＝サイコロ → 多値
• 正規＝釣鐘 → 中心
• ベイズ＝検査 → 更新

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■ 株式分析アプリでの応用例

• ベルヌーイ分布: 株価が「上がる / 下がる」
• マルチヌーイ分布: セクター分類や格付け（A/B/C…）
• 正規分布: 株価変動やリターンの近似
• ベイズの定理: ニュースを見た後の予測確率を更新

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